天津男子当街持刀砍人致1死1伤，若构成故意伤害罪，可能被判处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。具体分析如下：
故意伤害罪的构成与量刑标准根据我国《刑法》第234条，故意伤害罪是指故意非法损害他人身体健康的行为。量刑分为三个档次：
基础情节：故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；
致人重伤：处三年以上十年以下有期徒刑；
致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾：处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本案中，犯罪嫌疑人刘某持刀行凶导致1人死亡、1人轻微伤，若其行为被认定为故意伤害罪且符合“致人死亡”情形，则可能面临十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑的刑罚。
故意伤害罪与故意杀人罪的界限两罪的核心区别在于行为人是否以非法剥夺他人生命为故意内容：
若行为人仅有伤害他人健康的故意，即使客观上导致死亡，也认定为故意伤害罪致死；
若行为人以非法剥夺生命为目的，即使未造成死亡结果，也构成故意杀人罪（未遂）。司法实践中需综合案件起因、作案手段、打击部位、行为人作案前后表现等因素判断主观故意。例如，本案中刘某选择女性路人作为目标，持刀攻击要害部位，若证据显示其具有杀人故意，则可能以故意杀人罪追究刑事责任；若仅能证明伤害故意，则按故意伤害罪致死处理。
本案可能的罪名认定方向根据通报，刘某在公共场所持刀行凶，造成1死1轻微伤，主观恶性与社会危害性极大。若证据表明其以杀人为目的，则可能构成故意杀人罪，依据《刑法》第232条，可处死刑、无期徒刑或十年以上有期徒刑；若认定为故意伤害罪致死，则依据《刑法》第234条，同样可能面临十年以上刑罚。最终罪名需结合行为人主观意图、作案细节等证据综合判定。
其他相关法律规定
《刑法》第238条涉及非法拘禁过程中的伤害行为，规定使用暴力致人伤残、死亡的，依照故意伤害罪（第234条）或故意杀人罪（第232条）定罪处罚，但本案不涉及非法拘禁情节，故不适用。
若行为人存在精神疾病等影响刑事责任能力的情形，需经法定程序鉴定后依法处理，但通报中未提及此类信息。
