A＾（－1）＝A＊／｜A｜
A＊＝A＾（－1）／｜A｜
（A＊）＊＝［A＾（－1）／｜A｜］＾（－1）／［｜A＾（－1）／｜A｜｜
＝｜A｜＾（n－2）A。
∵AA＊＝｜A｜E，
∴当A可逆时，A＊＝｜A｜A－1，
从而：（－A）＊＝｜−A｜（−A）−1＝（−1）n｜A｜－1
（−1）
A−1＝（−1）n−1｜A｜A−1＝（−1）n−1A＊。A为n阶可逆方阵，1＝｜I｜＝｜AA＾（－1）｜＝｜A｜｜A＾（－1）｜
==> |A^(-1)|=1/|A|
根据：A^(-1)=(A*)/|A| ==>A*= |A|A^(-1)
==> A*=| |A|A^(-1)|= |A|^n |A^(-1)|=|A|^n/|A|=|A|^(n-1).
（这里｜A｜相当于一个常数）。
扩展资料
方阵A可逆的充分必要条件：
证明：
因为A的行列式等于它的所有特征值的乘积。
所以A可逆｜A｜≠0A的特征值都不等于0。
设M是n阶方阵，I是单位矩阵，如果存在一个数λ使得M－λI是奇异矩阵（即不可逆矩阵，亦即行列式为零），那么λ称为M的特征值。
